Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей
i
На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.
Решение.
Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. Угол, образованный касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, поэтому угол BCD равен половине дуги CD. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол CAD равен половине дуги CD. Следовательно, углы BCD и CAD равны. Рассмотрим треугольники ABC и CDB, углы BCD и CAD равны, угол B — общий, значит, треугольники подобны. Откуда Значит, и Таким образом,
Ответ: 15.
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка
1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей
i
На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 40, BC = 34 и CD = 20.
Решение.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠BCD = ∠CAD = ∠CAB, значит, треугольник ABC подобен треугольнику CBD по двум углам, причем коэффициент подобия равен (см. рис.). Тогда
Следовательно,
Ответ: 51.
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Ход решения задачи верный, получен верный ответ.
2
Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера.
1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей
i
На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 48, BC = 28 и CD = 24.
Решение.
Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. Угол, образованный касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, поэтому угол BCD равен половине дуги CD. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол CAD равен половине дуги CD. Следовательно, углы BCD и CAD равны. Рассмотрим треугольники ABC и CDB, углы BCD и CAD равны, угол B — общий, значит, треугольники подобны. Откуда Значит, и Таким образом,
Ответ: 42.
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
2
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка.
1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.