Ме­ди­а­на BM делит AC по­по­лам. Центр окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ме­ди­а­ны BM, тогда ON  — сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке BMC, где O  — центр окруж­но­сти, а N  — точка пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти сто­ро­ны BC. Сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке равна по­ло­ви­не ос­но­ва­ния, по­это­му ON  =  1. Сред­няя линия ON яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом окруж­но­сти. Так как ме­ди­а­на BM яв­ля­ет­ся диа­мет­ром, то BM  =  2ON  =  2. Про­ве­дем MN в тре­уголь­ни­ке BMC. Так как угол BNM опи­ра­ет­ся на диа­метр BM, то таким об­ра­зом, тре­уголь­ник BNM  — пря­мо­уголь­ный. Так как MN  — сред­няя линия, то она па­рал­лель­на AB, тогда тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный. Центр опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы, таким об­ра­зом, ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти равен 2.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOK  — он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке OKM имеем: Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ник MBK: сумма его углов равна 180°, по­это­му

По­сколь­ку кроме этого имеем:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BMK и MKC: они пря­мо­уголь­ные, имеют общий катет и BK равно KC, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит,

Точка M от­сто­ит на рав­ное рас­сто­я­ние от всех трех вер­шин тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, точка M  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти

Ответ: 2.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOK  — он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке OKM имеем: Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ник MBK: сумма его углов равна 180°, по­это­му

По­сколь­ку кроме этого имеем:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BMK и MKC: они пря­мо­уголь­ные, имеют общий катет и BK равно KC, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит,

Точка M от­сто­ит на рав­ное рас­сто­я­ние от всех трех вер­шин тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, точка M  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. Диа­метр BM равен ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти

Ответ: 4.