Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 25 № 425010
i

Точки M и N лежат на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC на рас­сто­я­ни­ях со­от­вет­ствен­но 4 и 15 от вер­ши­ны A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точки M и N и ка­са­ю­щей­ся луча AB, если ко­си­нус \angle BAC = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей:

AM умно­жить на AN=AE в квад­ра­те рав­но­силь­но AE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AM умно­жить на AN конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но AE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на 15 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но AE=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AEM, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов най­дем сто­ро­ну EM:

EM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AE в квад­ра­те плюс AM в квад­ра­те минус 2AE умно­жить на AM ко­си­нус \angle BAC конец ар­гу­мен­та =

= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 60 плюс 16 минус 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та =4.

Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ка AEN най­дем сто­ро­ну EN:

EN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AE в квад­ра­те плюс AN в квад­ра­те минус 2AE умно­жить на AN ко­си­нус \angle BAC конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 60 плюс 225 минус 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 15 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

В тре­уголь­ни­ке AEN сто­ро­ны AE и EN равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AEN  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да \angle EAN =\angle ENA. Из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства най­дем синус \angle ENA:

синус \angle ENA= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Най­дем ис­ко­мый ра­ди­ус окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов:

R= дробь: чис­ли­тель: EM, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle ENA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби =8.

Ответ: 8.


-------------
Дублирует задание № 339740.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Ход ре­ше­ния вер­ный, все его шаги вы­пол­не­ны пра­виль­но, по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ход ре­ше­ния вер­ный, чертёж со­от­вет­ству­ет усло­вию за­да­чи, но про­пу­ще­ны су­ще­ствен­ные объ­яс­не­ния или до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка.1
Дру­гие слу­чаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным кри­те­ри­ям.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 339665: 339740 341028 349650 ... Все

Источник: ОГЭ по ма­те­ма­ти­ке 2022. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 3
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025