Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Введем обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой BC в точке K. Углы CKD и ADK равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, 
следовательно, треугольник CKD — равнобедренный: 
Найдем BK:
Углы KMB и AMD равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники KMB и AMD: стороны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вертикальные, углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда 
Проведем прямую CP, параллельную AB. Прямая AB параллельна CP, прямая AD параллельна BC, следовательно, четырехугольник ABCP — параллелограмм, откуда 
Найдем PD:
Рассмотрим треугольник CPD, заметим, что
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник CPD — прямоугольный, следовательно, CP — высота трапеции. Более того, поскольку 
то трапеция является прямоугольной. Найдем площадь трапеции:
Ответ: 820.