Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 25 № 333159

Окружности радиусов 60 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D  — на второй. При этом AC и BD  — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Спрятать решение

Решение.

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т. е. 150. Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус  O_1C второй окружности. Тогда

O_1P = O_1C минус PC = O_1С минус OA = 90 минус 60 = 30.

Из прямоугольного треугольника OPO_1 находим, что

OP= корень из OO_1 в квадрате минус OP_1 в квадрате =60 корень из 6.

Опустим перпендикуляр BQ из точки B на прямую CD. Прямоугольный треугольник BQD подобен прямоугольному треугольнику OPO_1 по двум углам, поэтому  дробь: числитель: BQ, знаменатель: BD конец дроби = дробь: числитель: OP, знаменатель: OO_1 конец дроби . Следовательно.

BQ= дробь: числитель: OP умножить на BD, знаменатель: OO_1 конец дроби = дробь: числитель: 60 корень из 6 умножить на 60 корень из 6, знаменатель: 150 конец дроби =144.

 

Ответ: 144.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.2
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка.1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.0
Максимальный балл2
Раздел кодификатора ФИПИ: Подобие