График функ­ции  — парабола, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ны вверх. Значит, дан­ное не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний в том и толь­ко том случае, когда эта па­ра­бо­ла це­ли­ком рас­по­ло­же­на в верх­ней полуплоскости. От­сю­да следует, что дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трёхчлена дол­жен быть отрицателен.

Найдем четверть дискриминанта: Полученный квадратный трехчлен отрицателен при 1 <  < 3.

Дру­гая воз­мож­ная форма ответа: .

Сумма    при­ни­ма­ет наи­мень­шее значение, рав­ное 0, толь­ко в том случае, когда оба сла­га­е­мых од­но­вре­мен­но равны 0. По­лу­ча­ем си­сте­му уравнений

Решим её:

Ответ: 0; (-2;1).

При любых зна­че­ни­ях    и    имеем  . Значение, рав­ное 0, до­сти­га­ет­ся толь­ко в том случае, когда    и    равны нулю одновременно.
Составим си­сте­му уравнений

Уравнение пря­мой . Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты пер­вой пары точек, по­лу­ча­ем систему:

Ответ: .

Преобразуем функцию: при и . Гра­фик — пря­мая без двух точек и $(9;\; \backslash \; 6)$. Пря­мая не будет иметь с по­стро­ен­ной пря­мой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при , и если она будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тые точки. Через первую из этих точек пря­мая проходит, если , а через вто­рую — если .

Ответ:

Преобразуем выражение:

С учётом до­пол­ни­тель­но­го усло­вия вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет вид

Полученное вы­ра­же­ние не пре­вос­хо­дит 4 и до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния 4 при

Ответ: 4.

Координата вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние параболы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин од­но­вре­мен­но боль­ше или мень­ше нуля. Таким образом, за­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию со­во­куп­но­сти двух си­стем неравенств:

Решим первую систему:

Второе урав­не­ние дан­ной си­сте­мы не имеет решений, левая часть мень­ше нуля при любых зна­че­ни­ях Сле­до­ва­тель­но и вся си­сте­ма не имеет решений.

Решим вто­рую систему, пре­об­ра­зо­ва­ния в ней ана­ло­гич­ны первой, по­это­му можем сразу записать:

В этой си­сте­ме вто­рое неравенство, напротив, верно при любых . Таким образом, за­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию неравенства:

Произведение мень­ше нуля в том случае, когда со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. рисунок). Таким образом, ре­ше­ние вто­рой си­сте­мы неравенств:

Примечание.

Координату па­ра­бо­лы можно найти по фор­му­ле

Раскрывая модуль, получим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим образом:

Этот гра­фик изображён на рисунке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции

- ровно две общие точки при и ;

- три общие точки при

- ровно одну общую точку при и .

Ответ: m<−6,25; m>12,25.

Прямая ка­са­ет­ся окружности, если си­сте­ма урав­не­ний

имеет толь­ко одно решение. Под­став­ляя вы­ра­же­ние для из пер­во­го урав­не­ния во второе, получим:

Данное квад­рат­ное урав­не­ние долж­но иметь един­ствен­ное решение, по­это­му дис­кри­ми­нант дол­жен быт равен нулю:

Найдём ко­ор­ди­на­ты точки касасния. При вто­рое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид:

Точка ка­са­ния имеет от­ри­ца­тель­ную абсциссу, по­это­му ко­рень не под­хо­дит по усло­вию задачи.

При вто­рое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид:

Подставляя и в пер­вое урав­не­ние системы, по­лу­ча­ем Ко­ор­ди­на­ты точки касания (2; −1).

Ответ: (2; −1).

Раскрывая модуль, получим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим образом:

Этот гра­фик изображён на рисунке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно две общие точки при и

Ответ: 16; −1.