Пусть ско­рость те­че­ния реки (и плота) км/ч. Тогда ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния равна км/ч, а по те­че­нию км/ч. Следовательно, ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния в 3 раза боль­ше ско­ро­сти плота, а по течению — в 5 раз боль­ше ско­ро­сти плота. Если плот до встре­чи про­плыл км, то катер — в 3 раза больше, т. е. км. После встре­чи катер прой­дет км, а плот — в 5 раз меньше, т. е. км. Всего плот прой­дет

От­но­ше­ние прой­ден­но­го пло­том пути ко всему пути равно .

Приведём дру­гое решение. Пусть ско­рость те­че­ния реки (и плота) км/ч. Тогда ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния равна км/ч, а по те­че­нию км/ч. Ско­рость сбли­же­ния ка­те­ра и плота равна км/ч. Встре­ча про­изо­шла через ч. За это время плот про­плыл расстояние, рав­ное , а катер — .

Обратный путь катер прой­дет за ч. Плот за это время про­плы­вет расстояние, рав­ное , а всего он про­плы­вет .

Ответ: плот прой­дет   всего пути.

Обозначим ис­ко­мую ско­рость (в км/ч) за  . Плот прошёл 22 км, значит, он плыл 11 часов, а яхта 9 часов. Таким образом, имеем:

откуда на­хо­дим  .

Ответ: 18 км/ч.

Обозначим ис­ко­мую ско­рость (в км/ч) за  . Плот прошёл 34 км, значит, он плыл 17 часов, а яхта 16 часов. Таким образом, имеем:

откуда на­хо­дим  .

Ответ: 16 км/ч.

Обозначим км/ч ис­ко­мую скорость. По те­че­нию реки лодка дви­га­лась ч.
Против те­че­ния лодка шла ч. По­лу­ча­ем урав­не­ние

Ответ: 15 км/ч.

Пусть км/ч — соб­ствен­ная ско­рость лодки. Тогда ско­рость дви­же­ния по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость дви­же­ния про­тив те­че­ния равна км/ч. Обо­зна­чим рас­сто­я­ние между пристанями. Время, за­тра­чен­ное на весь путь, равно

Ответ: 9 км/ч.

Пусть ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно км. Ско­рость лодки при дви­же­нии про­тив те­че­ния равна 4 км/ч, при дви­же­нии по те­че­нию равна 8 км/ч. Время, за ко­то­рое лодка доплывёт от места от­прав­ле­ния до места на­зна­че­ния и обратно, равно часа. Из усло­вия за­да­чи следует, что это время равно 3 часа. Со­ста­вим уравнение: . Решив уравнение, по­лу­чим = 8 .

Ответ: 8 км.

Пусть S км — расстояние, на ко­то­рое от ла­ге­ря от­плы­ли туристы. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 3 км/ч, а ско­рость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое они про­плы­ли туда и об­рат­но, со­став­ля­ет Учитывая, что они были на сто­ян­ке 2 часа и вер­ну­лись через 6 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить уравнение:

Отсюда S = 9 км.

Ответ: 9 км.

Пусть S км — расстояние, на ко­то­рое от­плыл рыболов. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 2 км/ч, а ско­рость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое он про­плы­л туда и об­рат­но, со­став­ля­ет Учитывая, что он был на сто­ян­ке 2 часа и вер­ну­лся через 5 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить уравнение:

Отсюда S = 8 км.

Ответ: 8 км.

Пусть ско­рость те­че­ния реки равна км/ч. Тогда ско­рость ка­те­ра по те­че­нию реки равна км/ч, а про­тив те­че­ния — км/ч. Время дви­же­ния ка­те­ра по те­че­нию реки равно , а про­тив те­че­ния — по смыс­лу за­да­чи Весь путь занял . Со­ста­вим и решим уравнение:

Тем самым, ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

Пусть ско­рость те­че­ния реки равна км/ч. Тогда ско­рость лодки по те­че­нию реки равна , а про­тив те­че­ния . Время дви­же­ния лодки от одной при­ста­ни до дру­гой по те­че­нию реки равно , а про­тив те­че­ния Весь путь занял Со­ста­вим уравнение:

Корень −4 не под­хо­дит нам по усло­вию задачи. Ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

Пусть км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, тогда км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да по течению, км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да про­тив течения. По те­че­нию теп­ло­ход дви­жет­ся часов, а про­тив те­че­ния часов, весь путь занял часов, со­ста­вим уравнение:

Корень не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость теп­ло­хо­да равна 26 км/ч.

Ответ: 26.

Пусть км/ч — соб­ствен­ная ско­рость баржи, тогда км/ч — ско­рость баржи про­тив течения, а — ско­рость баржи по течению. По те­че­ния баржа дви­га­лась часов, а про­тив те­че­ния часов. Баржа за­тра­ти­ла на весь путь 5 часов, со­ста­вим уравнение:

Корень −1 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го теплохода, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го теплохода. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми 70 км, вто­рой теп­ло­ход от­пра­вил­ся в путь через час после вы­хо­да первого, причём в ко­неч­ный пункт оба теп­ло­хо­да при­бы­ли одновременно, со­ста­вим уравнение:

Корень −28 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 20 км/ч.

Ответ: 20.

Пусть — ско­рость реки, тогда — ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде, — рас­сто­я­ние от А до места встречи, — расстояние, ко­то­рое пройдёт плот от места встре­чи до мо­мен­та воз­вра­ще­ния ка­те­ра в В. При­мем рас­сто­я­ние между А и В за единицу. К месту встре­чи плот и катер при­бы­ли одновременно, от­ку­да За то время, пока катер пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние плот пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние от­ку­да По­лу­ча­ем си­сте­му уравнений:

Плот за всё время дви­же­ния прошёл рас­сто­я­ние По­сколь­ку всё рас­сто­я­ние между А и В мы при­ня­ли рав­ным единице, плот пройдёт 0,4 пути из А в В к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В.

Плот прошёл 22 км, значит, он плыл 11 часов, из ко­то­рых лодка на­хо­ди­лась в пути 10 часов. Пусть ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна v км/ч, тогда

откуда v = 20.

Ответ: v = 20.

Плот прошёл 44 км, значит, он плыл 11 часов, из ко­то­рых лодка на­хо­ди­лась в пути 10 часов. Пусть ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна v км/ч, тогда

откуда v = 16.

Ответ: 16.

Пусть ско­рость теплохода равна v км/ч. По­лу­ча­ем уравнение:

откуда v = 9.

Ответ: 9.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го теплохода, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го теплохода. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми 153 км, вто­рой теп­ло­ход от­пра­вил­ся в путь через 4 часа после вы­хо­да первого, причём в ко­неч­ный пункт оба теп­ло­хо­да при­бы­ли одновременно, со­ста­вим уравнение:

Корень −34 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 18 км/ч.

Ответ: 18.

Пусть км/ч — ско­рость течения, тогда км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да по течению, км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да про­тив течения. По те­че­нию теп­ло­ход дви­жет­ся часов, а про­тив те­че­ния часов, весь путь занял часов, со­ста­вим уравнение:

Корень не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость течения равна 4 км/ч.

Ответ: 4.

Пусть x км/ч — соб­ствен­ная ско­рость баржи, тогда км/ч — ско­рость баржи про­тив течения, а — ско­рость баржи по течению. По те­че­ния баржа дви­га­лась часов, а про­тив те­че­ния часов. Баржа за­тра­ти­ла на весь путь 6 часов, со­ста­вим уравнение:

Корень −1 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15

Пусть км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, тогда км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да по течению, км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да про­тив течения. По те­че­нию теп­ло­ход дви­жет­ся часов, а про­тив те­че­ния часов, весь путь занял часов, со­ста­вим уравнение:

Корень не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость теп­ло­хо­да равна 24 км/ч.

Ответ: 24.

Обозначим ис­ко­мую ско­рость (в км/ч) за  . Плот прошёл 20 км, значит, он плыл 5 часов, а моторная лодка 4 часа. Таким образом, имеем:

откуда на­хо­дим  .

Ответ: 32 км/ч.