PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Три окружности с центрами O1, O2 и O3 и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол O1O2O3.
Две окружности с центрами O1 и O3 и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O2 радиусом 7,5. Найдите угол O1O2O3.
Три окружности, радиусы которых
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 16 и 48, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке B. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку B, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке A. Найдите радиус второй окружности, если 
В окружности с центром в точке O проведены две хорды AB и CD. Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке M, лежащей вне окружности. При этом 
Найдите OM.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведенный к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.
Окружности радиусов 14 и 35 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 3, значит,
откуда 
; 
следовательно, угол BAK равен 30 градусов, а угол BAC равен 60 градусов. Следовательно, треугольник ABC равносторонний, и центр описанной вокруг него окружности совпадает с центром вписанной в него окружности. Таким образом, точки S и O совпадут.
и 
а точки касания, с общей касательной, не проходящей через точку B, за M и N. Прямоугольные треугольники 
и 
равны по катету и гипотенузе. Аналогично, равны треугольники 
и 
Значит, прямые 
и 
являются биссектрисами углов 
и 
соответственно. Прямые 
и 
параллельны, поэтому сумма углов 
равна 90°, то есть треугольник 
—
середину отрезка AB, а точкой L середину отрезка CD. Поскольку треугольники AOB и COD равнобедренные, OK и OL перпендикулярны AB и CD соответственно. Отрезок AB равен
Четырехугольник OKML является прямоугольником, поэтому
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда AL — биссектриса 
Но это означает, что точка L совпадает с точкой K, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к BC и биссектрисой 
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. 
Четырехугольник ACLB — вписанный, поэтому 
то есть 
второй окружности. Тогда
находим, что
Следовательно.
ACPO — прямоугольник по определению, AC = OP. Отрезки общих касательных к окружностям AC и BD также равны по теореме, о которой можно прочесть 