Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Так как угол рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 60° и все сто­ро­ны равны 10, имеем:

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Так как в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все сто­ро­ны равны, то сто­ро­на дан­но­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Угол рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна Таким об­ра­зом, сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 100.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Так как бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 5, его ос­но­ва­ние равно 6, а по­лу­пе­ри­метр: по фор­му­ле Ге­ро­на имеем:

Ответ: 12.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Найдя ос­но­ва­ние и бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, на­хо­дим по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вы­со­ту, она равна 4. Далее по фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка, на­хо­дим, что она равна 12.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними:

Ответ: 25.

При­ме­ча­ние:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно было найти по фор­му­ле Ге­ро­на.

Ре­ше­ние. Пусть a  — длина ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, b  — длина бо­ко­вой сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, h  — вы­со­та, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию a. Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­еден­ная к ос­но­ва­нию, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем вы­со­ту по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 480.

Ре­ше­ние. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен сумме длин его сто­рон, по­это­му длина ос­но­ва­ния равна Вы­со­та h, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной, по­это­му (см. рис.) имеем:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 2160.

При­ме­ча­ние.

Пусть p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка, a, b, c  — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. Можно не на­хо­дить вы­со­ту, а найти пло­щадь по фор­му­ле Ге­ро­на:

Ре­ше­ние. Пусть a  — длина ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, b  — длина бо­ко­вой сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, h  — длина ос­но­ва­ния про­ве­ден­но­го к вы­со­те. Най­дем длину бо­ко­вой сто­ро­ны:

Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем вы­со­ту по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 672.

При­ме­ча­ние.

Пусть p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка. Можно не на­хо­дить вы­со­ту, а найти пло­щадь по фор­му­ле Ге­ро­на:

Ре­ше­ние. Пусть a  — длина ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, b  — длина бо­ко­вой сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, h  — длина вы­со­ты, опу­щен­ной на ос­но­ва­ние. Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем вы­со­ту по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 48.