Ре­ше­ние. По­стро­им ра­ди­у­сы OA и OC. Цен­траль­ный угол AOC равен Угол ABC  — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, по­это­му он равен

Ответ: 22,5.

Ре­ше­ние. Угол ABC  — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на диа­метр AC. Таким об­ра­зом, ∠ABC = 90°.

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Углы и DBC опи­ра­ют­ся на одну дугу DC, сле­до­ва­тель­но, они равны. Най­дем угол

Ответ: 54.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный пря­мой угол опи­ра­ет­ся на диа­метр окруж­но­сти, по­это­му ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Тогда ра­ди­ус окруж­но­сти равен 35 : 2  =  17,5.

Ответ: 17,5.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

(здесь a и b  — бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, c  — ос­но­ва­ние.

Диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти най­дем по обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 8.

При­ме­ча­ние.

Вме­сто того, чтобы ис­кать ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка, можно было найти угол при ос­но­ва­нии. Дей­стви­тель­но, сумма углов при ос­но­ва­нии дан­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 60°. Эти углы равны, по­это­му каж­дый из них равен 30°. При­ме­няя обоб­щен­ную тео­ре­му си­ну­сов для бо­ко­вой сто­ро­ны и про­ти­во­ле­жа­ще­го ей угла, по­лу­ча­ем:

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ла­ри­о­но­ва.

Угол при ос­но­ва­нии равен

Сле­до­ва­тель­но, дуга опи­сан­ной окруж­но­сти, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, равна 2 · 30°  =  60°. Эту дугу стя­ги­ва­ет бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка.

Хорда, стя­ги­ва­ю­щая дугу в 60°, равна ра­ди­у­су окруж­но­сти, по­это­му ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен бо­ко­вой сто­ро­не тре­уголь­ни­ка, тогда D  =  2 · 4  =  8.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем диа­го­наль OQ Рас­смот­рим тре­уголь­ник OQR, OQ и OR равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти. Все сто­ро­ны ромба равны, по­это­му OR  =  QR, по­лу­ча­ем, что OQ  =  QR  =  OR, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник OQR  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му все его углы, в том числе и угол ORQ, равны 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем диа­го­наль TO. В тре­уголь­ни­ке OTV сто­ро­ны TO и OV равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти. Все сто­ро­ны ромба равны, по­это­му от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник OTV  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му все его углы, в том числе и угол OTV, равны 60°. Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ник STO  — рав­но­сто­рон­ний, и угол STO равен 60°. Таким об­ра­зом, угол STV, рав­ный сумме углов STO и OTV, равен 120°.

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. Угол BOC  — цен­траль­ный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Угол BAC впи­сан­ный, он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. По­сколь­ку эти углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, ∠BOC  =  2∠BAC. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны, по­это­му

Сле­до­ва­тель­но, угол BОC  =  3°.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние.

Одно время это за­да­ние было снаб­же­но ав­тор­ским ри­сун­ком с ост­рым углом В. За­ме­тим, что ри­су­нок не вли­я­ет на спра­вед­ли­вость ре­ше­ния  — за­да­чу можно ре­шить и вовсе без ри­сун­ка.

Ре­ше­ние. Угол ABC  — впи­сан­ный, опи­ра­ет­ся на дугу ADC, по­это­му ве­ли­чи­на дуги ADC равна 2 · 70°  =  140°. Угол CAD  — впи­сан­ный, опи­ра­ет­ся на дугу CD, по­это­му ве­ли­чи­на дуги CD равна 2 · 49°  =  98°. Угол ABD  — впи­сан­ный, опи­ра­ет­ся на дугу AD, по­это­му ∠ABD = ∪AD/2  =  (∪ADC − ∪CD)/2  =  (140° − 98°)/2  =  21°.

При­ве­дем ре­ше­ние Марии Ва­си­льев­ны.

За­ме­тим, что ∠ABD  =  ∠ABC − ∠DBC.

Но ∠DBC  =  ∠CAD, по­сколь­ку они опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу CD.

Тогда ∠ABD  =  ∠ABC − ∠CAD  =  70° − 49°  =  21°.

Ответ: 21.

Ре­ше­ние. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му По тео­ре­ме си­ну­сов:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. По тео­рем Пи­фа­го­ра най­дем сто­ро­ну AB:

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на квад­ра­та вдвое боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му Ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг квад­ра­та окруж­но­сти равен по­ло­ви­не его диа­го­на­ли. По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, зна­чит, все углы равны по 60°. Тогда

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Если че­ты­рех­уголь­ник впи­сан в окруж­ность, то суммы ве­ли­чин его про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°, то есть  Смеж­ные углы KCB и BCD в сумме дают 180°, сле­до­ва­тель­но, Тре­уголь­ни­ки KBC и KDA по­доб­ны по двум углам, тогда

Ответ: 9.