Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна a. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 100.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 60°, равен a, а вто­рой катет равен b. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°, и Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов, сле­до­ва­тель­но,

Учи­ты­вая, что по­лу­чим a  =  100.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 18.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 26.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 80.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 50.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 44.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 8.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 2.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 6.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 12.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 32.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 40.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 16.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 24.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Один из ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 60°, сле­до­ва­тель­но, дру­гой ост­рый угол равен 30°. Пусть катет, ле­жа­щий на­про­тив угла 30°, равен x, тогда ги­по­те­ну­за равна 2x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вто­рой катет равен Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна По­лу­чим урав­не­ние:

Сле­до­ва­тель­но, катет, ле­жа­щий на­про­тив угла 30°, равен тогда вто­рой катет, ле­жа­щий на­про­тив угла 60°, равен

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 24.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 10.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 12.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 36.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 30°, равен x, тогда ги­по­те­ну­за равна 2x, а вто­рой катет по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов, сле­до­ва­тель­но,

Сле­до­ва­тель­но, катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 30°, равен

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 10.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 14.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 46.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 28.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 4.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 28.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 22.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна Один из ост­рых углов равен 60°. Най­ди­те длину ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив этого угла.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна a. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 100.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 60°, равен a, а вто­рой катет равен b. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°, и Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов, сле­до­ва­тель­но,

Учи­ты­вая, что по­лу­чим a  =  100.