Так как в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и по усло­вию из­вест­но, что АЕ = CK, BF = DM, то BЕ = KD, CF = AM. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны, по­это­му тре­уголь­ни­ки EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что EF=MK, EM=FK. Так как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка EFKM равны, то по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны и по усло­вию сле­до­ва­тель­но:

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны: Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AEM и CFK, в этих тре­уголь­ни­ках сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, Ана­ло­гич­но равны тре­уголь­ни­ки EBF и MKD, а сле­до­ва­тель­но, равны от­рез­ки EF и Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка EFKM равны, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, и по усло­вию CF  =  AM, BE  =  DK сле­до­ва­тель­но:

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны: Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AEM и CFK, в этих тре­уголь­ни­ках сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, Ана­ло­гич­но равны тре­уголь­ни­ки EBF и MKD, а сле­до­ва­тель­но, равны от­рез­ки EF и MK. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка EFKM равны, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны и по усло­вию сле­до­ва­тель­но:

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны: Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AEM и CFK, в этих тре­уголь­ни­ках сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, Ана­ло­гич­но равны тре­уголь­ни­ки EBF и MKD, а сле­до­ва­тель­но, равны от­рез­ки EF и Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка EFKM равны, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны и по усло­вию сле­до­ва­тель­но:

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны: Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AEM и CFK, в этих тре­уголь­ни­ках сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, Ана­ло­гич­но равны тре­уголь­ни­ки EBF и MKD, а сле­до­ва­тель­но, равны от­рез­ки EF и Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка EFKM равны, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм.