Про­ве­дем ра­ди­у­сы OB и OC в точки ка­са­ния. Тре­уголь­ни­ки AOB и AOC  — пря­мо­уголь­ные, где R  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Ги­по­те­ну­за AO этих тре­уголь­ни­ков  — общая, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. Тогда равны углы:

Из тре­уголь­ни­ка AOB най­дем ра­ди­ус OB:

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние.

Длину от­рез­ка OB можно найти без ис­поль­зо­ва­ния си­ну­са угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO катет OB лежит на­про­тив угла в 30°, сле­до­ва­тель­но, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AO:

Про­ве­дем ра­ди­у­сы OB и OC в точки ка­са­ния. По­лу­чи­ли два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, катет где R  — ра­ди­ус окруж­но­сти, ги­по­те­ну­за AO этих двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков  — общая, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. То есть, име­ет­ся ра­вен­ство углов

Те­перь из тре­уголь­ни­ка AOB най­дем ра­ди­ус OB

Ответ: 3.

Про­ве­дем ра­ди­у­сы OB и OC в точки ка­са­ния. По­лу­чи­ли два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, катет , где R  — ра­ди­ус окруж­но­сти и ги­по­те­ну­за AO этих двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков  — общая, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. То есть, име­ет­ся ра­вен­ство углов:

Те­перь из тре­уголь­ни­ка AOB най­дем AO

Ответ: 16.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки О равно 8.

Про­ве­дем ра­ди­у­сы OB и OC в точки ка­са­ния. Тре­уголь­ни­ки AOB и AOC  — пря­мо­уголь­ные, где R  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Ги­по­те­ну­за AO этих тре­уголь­ни­ков  — общая, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. Тогда равны углы:

Из тре­уголь­ни­ка AOB най­дем ра­ди­ус OB:

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние.

Длину от­рез­ка OB можно найти без ис­поль­зо­ва­ния си­ну­са угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO катет OB лежит на­про­тив угла в 30°, сле­до­ва­тель­но, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AO: