Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 2.

Опустим перпендикуляр BH. Треугольник ABH — прямоугольный. Таким образом,

Ответ: 3.

Углы и в сумме об­ра­зу­ют развёрну­тый угол Зна­чит,

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, изоб­ражённый на ри­сун­ке. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: −3.

Углы и в сумме об­ра­зу­ют развёрну­тый угол Зна­чит,

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, изоб­ражённый на ри­сун­ке. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: -1,5.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 2.

Проведём вспомогательное построение. Заметим, что дуга AC составляет ровно четверть окружности, следовательно, она равна 360°/4 = 90°. Угол ABC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, значит, он равен половине дуги AC: 90°/2 = 45°.

Ответ: 45.

По теореме Пифагора в треугольнике ODB найдем OB:

В треугольнике ABC сторона AB равна:

Таким образом, OB = BA = , следовательно, треугольник OAB — равнобедренный, а его медиана HB, также является и высотой, то есть — прямой.

В треугольнике OAE сторона OA равна:

Как мы видим из рисунка: , тогда .

Из прямоугольного треугольника OBH:

Ответ: 2.

Найдем каждую из сторон треугольника , чтобы показать, что он прямоугольный.

 

Ответ: 0,5.

Проведём вспомогательное построение. Заметим, что дуга BC составляет ровно четверть окружности, следовательно, она равна 360°/4 = 90°. Угол BAC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, значит, он равен половине дуги BC: 90°/2 = 45°. Треугольник — равнобедренный, следовательно,:

Ответ: 67,5.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 0,5.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 0,75.

Впишем в окружность квадрат так, как показано на рисунке. Стороны квадрата отсекают на окружности равные дуги. Поэтому градусная мера дуги AC, на которую опирается угол ABC, составляет полного угла 360°, т. е. равна 270°. Угол ABC вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, угол ABC равен 135°.

Ответ: 135.

Найдем каждую из сторон треугольника , чтобы показать, что он прямоугольный.

 

Ответ: 1

Угол опирается на дугу, градусная мера которой составляет всей окружности, т.е. градусов. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, т.е.

Ответ: 45

Впишем в окружность квадрат так, как показано на рисунке. Стороны квадрата стягивают равные дуги, поэтому дуга ЕАС равна 90°, а опирающийся на нее вписанный угол ЕВС равен 45°.

В треугольнике CAE проведем высоту из вершины A (см. рис.). Она разделит сторону EC пополам, поэтому треугольник CAE — равнобедренный. Тогда малые дуги EA и AC равны, так как их стягивают равные хорды. Следовательно, равны и опирающиеся на них вписанные углы ЕВА и АВС. Таким образом,

Ответ: 22,5.

Центральный угол равен 135°. Большая дуга равна 360°-135°=225°. Угол опирается на эту дугу, но является вписанным и равен половине этой дуги, т.е. 112,5°.

Ответ: 112,5.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 0,5.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 6.

Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 1,5.

Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 2.

Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 3.

Проведем дополнительные построения. Угол - центральный и равен 135°. Большая дуга равна Искомый угол опирается на большую дугу , он является вписанным, а , значит, равен половине дуги :

Ответ: 112,5

Про­ведём до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. За­ме­тим, что тан­генс угла равен еди­ни­це, сле­до­ва­тель­но, цен­траль­ный угол равен 45°. Угол опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и , но яв­ля­ет­ся впи­сан­ным и равен по­ло­ви­не угла , т. е. 22,5°.

Ответ: 22,5

Искомый угол опирается на часть окружности: . Так как угол является вписанный, он равен половине дуги, на которую опирается, т.е.

Ответ: 22,5

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния. Угол  — цен­траль­ный и равен 45°. Угол опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и , но яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, по­это­му равен по­ло­ви­не угла , т. е. 22,5°.

Ответ: 22,5

Найдем каждую из сторон треугольника , чтобы показать, что он прямоугольный.

 

Ответ: 2

Проведем дополнительные построения. Угол - центральный и равен 135°. Угол опирается на ту же дугу, что и угол , но является вписанным, поэтому равен половине угла т.е. 67,5°.

Ответ: 67,5.

Найдем каждую из сторон треугольника , чтобы показать, что он прямоугольный.

 

Ответ: 1,5.

Проведем дополнительные построения. Угол - центральный и равен 135°. Искомый угол опирается на ту же дугу, что и , но является вписанным и равен половине угла , т.е. 67,5°

Ответ: 67,5

Искомый угол опирается на окружности: 360°:8=45°, но так как он является вписанным, он равен половине, т.е. 22,5°

Ответ: 22,5°

Найдем каждую из сторон треугольника , чтобы показать, что он прямоугольный.

 

Ответ: 1

Найдем каждую из сторон треугольника , чтобы показать, что он прямоугольный.

 

Ответ: 0,5

Угол опирается на дугу, которая составляет четверть окружности, т.е. 90°. Так как угол - вписанный, то он равен половине дуги, т.е. 45°

Ответ: 45

Проведем дополнительные построения. Угол - центральный и равен 135°. Большая дуга равна 360°-135°=225°. Искомый угол опирается на большую дугу , но, так как он является вписанным, то равен половине дуги , т.е. 112,5°.

Ответ: 112,5

Проведём дополнительное построение, как показано на рисунке. Заметим, что тангенс угла равен единице, следовательно, центральный угол равен 45°. Угол опирается на ту же дугу, что и , но является вписанным, поэтому равен его половине, т.е. 22,5°.

Ответ: 22,5.

Центральный угол равен 135°. Угол опирается на ту же дугу, что и , но является вписанным, поэтому равен его половине, т.е. 67,5°

Ответ: 67,5

Центральный угол равен 135°. Угол опирается ну ту же дугу, что и , но является вписанным, поэтому равен его половину, т.е. 67,5°

Ответ: 67,5

Найдем каждую из сторон треугольника , чтобы показать, что он прямоугольный.

 

Ответ: 1