Из условия касания окружностей находим стороны треугольника

По теореме косинусов

Откуда

Ответ: 120°.

Из условия касания окружностей находим стороны треугольника

По теореме косинусов

Откуда

Ответ: 120°.

Стороны треугольника, вершинами которого является центры этих трёх окружностей, равны 5, 12 и 13. Поскольку  , этот треугольник прямоугольный. Площадь этого треугольника равна 30. В то же время, она равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр. Значит, искомый радиус равен .

Ответ: 2.

Пусть Q — центр большей окружности, а O — центр меньшей, QM и ON — радиусы, проведённые в точки касания окружностей с прямой AC, S — центр окружности, описанной около треугольника ABC , r — радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

Поскольку BC и AB — общие касательные к окружностям, BO и BQ — биссектрисы углов ABK и смежного с ним. Значит, угол OBQ прямой, следовательно, из треугольника OBQ находим, что

Пусть AN = x. Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 3, значит, AM = 3x , MN = 2x.

Отрезки MC , CK и CN равны как отрезки касательных, проведённых из одной точки, значит, , , откуда .

В прямоугольном треугольнике ABK находим неизвестный катет:

В прямоугольном треугольнике SBK по теореме Пифагора имеем

Ответ: 32.

Обозначим центры первой и второй окружностей за    и  , а точки касания, с общей касательной, не проходящей через точку  , за    и  . Прямоугольные треугольники    и    равны по катету и гипотенузе. Аналогично, равны треугольники    и   . Значит, прямые    и    являются биссектрисами углов    и    соответственно. Прямые    и    параллельны, поэтому сумма углов    и    равна 180°, а сумма углов    и    равна 90°, то есть треугольник   — прямоугольный. Поскольку   — высота, проведённая к гипотенузе, треугольники    и    подобны. Значит,  .

Ответ: 9.

Обозначим радиус окружности, точкой середину отрезка , а точкой середину отрезка . Поскольку треугольники и равнобедренные, и перпендикулярны и соответственно. Отрезок равен . Четырёхугольник является прямоугольником, поэтому .

Из прямоугольного треугольника находим .

Из прямоугольного треугольника находим .

Из прямоугольного треугольника находим .

Ответ: 29.

Так как биссектриса острого угла A прямоугольного треугольника ABC не может быть перпендикулярна BC, то биссектриса угла A и серединный перпендикуляр к BC имеют ровно одну общую точку.

Пусть N — середина BC. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть серединный перпендикуляр к BC пересекает меньшую дугу BC в точке L (см. рисунок), тогда точка L является серединой этой дуги, ⌣BL = ⌣LC. Но тогда как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда AL — биссектриса . Но это означает, что точка L совпадает с точкой K, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к BC и биссектрисой . Заметим, что как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.

Пусть . Четырехугольник ACLB — вписанный, поэтому , то есть , откуда Так как точки K и L совпадают,

Ответ: 25°.

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т. е. 49. Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус второй окружности. Тогда

Из прямоугольного треугольника находим, что

Опустим перпендикуляр из точки на прямую . Прямоугольный

треугольник подобен прямоугольному треугольнику по двум углам, поэтому . Следовательно.

Ответ: 40.

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т. е. 150. Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус второй окружности. Тогда

Из прямоугольного треугольника находим, что

Опустим перпендикуляр из точки на прямую . Прямоугольный треугольник подобен прямоугольному треугольнику по двум углам, поэтому . Следовательно.

Ответ: 144.

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т. е. 121. Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус второй окружности. Тогда

Из прямоугольного треугольника находим, что

Опустим перпендикуляр из точки на прямую . Прямоугольный треугольник подобен прямоугольному треугольнику по двум углам, поэтому . Следовательно.

Ответ: 72.

Пусть Q — центр большей окружности, а O — центр меньшей, QM и ON — радиусы, проведённые в точки касания окружностей с прямой AC , S — центр окружности, описанной около треугольника ABC , r — радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

Поскольку BC и AB — общие касательные к окружностям, BO и BQ — биссектрисы углов ABK и смежного с ним. Значит, угол OBQ прямой, следовательно, из треугольника OBQ находим, что

Пусть AN = x. Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 1,25, значит, AM = 1,25x , MN = 0,25x.

Отрезки MC , CK и CN равны как отрезки касательных, проведённых из одной точки, значит, , , откуда .

В прямоугольном треугольнике ABK находим неизвестный катет:

В прямоугольном треугольнике SBK по теореме Пифагора имеем

Ответ: 182,25.

Поскольку существует точка, равноудалённая от всех вершин четырёхугольника, четырёхугольник можно вписать в окружность. Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противоположных углов равны 180°:

Отрезки и CM равны как радиусы окружности, поэтому треугольники ABM и BMC — равнобедренные, откуда и Рассмотрим треугольник BMC, сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда По теореме синусов найдём сторону BM из треугольника

Сторона AD — диаметр описанной окружности, поэтому

Ответ: