Окружности
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Три окружности с центрами 
и 
и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол 
Две окружности с центрами 
и и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром 
радиусом 7,5. Найдите угол
Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.
, этот треугольник прямоугольный. Площадь этого треугольника равна 30. В то же время, она равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр. Значит, искомый радиус равен 
.Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 16 и 48, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
, 
, откуда 
.
; 
Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке 
. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку , пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке 
. Найдите радиус второй окружности, если 
.
, а точки касания, с общей касательной, не проходящей через точку 
. Прямоугольные треугольники 
и 
равны по катету и гипотенузе. Аналогично, равны треугольники 
и 
. Значит, прямые 
и 
являются биссектрисами углов 
и 
соответственно. Прямые 
и 
параллельны, поэтому сумма углов 
— прямоугольный. Поскольку 
.В окружности с центром в точке 
проведены две хорды 
и 
. Прямые и перпендикулярны и пересекаются в точке 
, лежащей вне окружности. При этом 
. Найдите 
.
радиус окружности, точкой 
середину отрезка 
середину отрезка 
и 
равнобедренные, 
и 
перпендикулярны 
. Четырёхугольник 
является прямоугольником, поэтому 
. 
находим 
.
находим 
.
находим 
.В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.
прямоугольного треугольника 
не может быть перпендикулярна 
, то биссектриса угла 
. Пусть серединный перпендикуляр к 
= ⌣ 
. Но тогда 
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда 
— биссектриса 
. Но это означает, что точка 
, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к 
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. 
. Четырехугольник 
— вписанный, поэтому 
, то есть 
, откуда 
Так как точки 
Окружности радиусов 14 и 35 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
второй окружности. Тогда
находим, что
из точки 
на прямую 
подобен прямоугольному треугольнику 
. Следовательно.
Окружности радиусов 60 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 36 и 45, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
, 
, откуда 
.
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.
и 
равны как радиусы окружности, поэтому треугольники 
и 
— равнобедренные, откуда 
и 
Рассмотрим треугольник 
сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда 
По теореме синусов найдём сторону 
из треугольника 
— диаметр описанной окружности, поэтому 
Пройти тестирование по этим заданиям
в приведенном рисунке не указана точка К по всей видимости это точка L.
В ходе решения доказывается, что точки K и L совпадают.