Ре­ше­ние. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му вто­рой ост­рый угол равен Оба ост­рых угла равны, сле­до­ва­тель­но, дан­ный тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да по­лу­ча­ем, что оба ка­те­та равны. Длина ка­те­та равна

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния ка­те­тов:

Ответ: 1225.

Ре­ше­ние. Пусть R и D со­от­вет­ствен­но ра­ди­ус и диа­метр окруж­но­сти, a  — сто­ро­на квад­ра­та. Сто­ро­на квад­ра­та равна диа­мет­ру впи­сан­ной окруж­но­сти. Най­дем пло­щадь квад­ра­та:

Ответ: 27 556.

Ре­ше­ние. Пусть R и D со­от­вет­ствен­но ра­ди­ус и диа­метр окруж­но­сти, a  — сто­ро­на квад­ра­та. Сто­ро­на квад­ра­та равна диа­мет­ру впи­сан­ной окруж­но­сти. Най­дем пло­щадь квад­ра­та:

Ответ: 196.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции. По­это­му вы­со­та равна 32.

Ответ: 32.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его по­лу­пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти:

Ответ: 100.

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что длина сто­ро­ны для от­ве­та на во­прос за­да­чи не нужна.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в квад­рат окруж­но­сти вдвое мень­ше ее сто­ро­ны. Сто­ро­на квад­ра­та равна Пусть a  — сто­ро­на квад­ра­та. Тогда диа­го­наль квад­ра­та равна

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в квад­рат окруж­но­сти вдвое мень­ше сто­ро­ны квад­ра­та. Он равен 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти равен от­но­ше­нию пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру:

Ответ: 1.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Центр впи­сан­ной окруж­но­сти на­хо­дит­ся в точке пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке бис­сек­три­сы яв­ля­ют­ся также ме­ди­а­на­ми и вы­со­та­ми. Пусть бис­сек­три­са (она же ме­ди­а­на и вы­со­та), про­ве­ден­ная из вер­ши­ны C, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке H. Най­дем CH из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH:

Ме­ди­а­ны точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2:1, сле­до­ва­тель­но,

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся при­ве­ден­ной в спра­воч­ных ма­те­ри­а­лах фор­му­лой, свя­зы­ва­ю­щий сто­ро­ну пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка и ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник: тогда

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

зна­чит,

Ответ: 15.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна 3 ра­ди­у­сам впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му она равна 15.

Ре­ше­ние. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке а по усло­вию По­это­му длина сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Если в че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, то суммы его про­ти­во­ле­жа­щих сто­рон равны: по­это­му

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Если в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность, то суммы ее про­ти­во­ле­жа­щих сто­рон равны: по­это­му

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. В опи­сан­ном че­ты­рех­уголь­ни­ке суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Имеем:

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции. По­это­му вы­со­та равна 24.

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем от­ре­зок OH  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OHC катет OH равен а ги­по­те­ну­за По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­чим:

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти OH равен

Ответ: 6,72.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BOC:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­чим:

Длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле: