Ре­ше­ние. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ODB най­дем OB:

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­на AB равна:

Таким об­ра­зом, OB  =  BA  =   сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник OAB  — рав­но­бед­рен­ный, а его ме­ди­а­на HB, также яв­ля­ет­ся и вы­со­той, то есть   — пря­мой.

В тре­уголь­ни­ке OAE сто­ро­на OA равна:

Как мы видим из ри­сун­ка: тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OBH:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Най­дем каж­дую из сто­рон тре­уголь­ни­ка HOA, чтобы по­ка­зать, что он пря­мо­уголь­ный.

Ответ: 1

Ре­ше­ние. Най­дем каж­дую из сто­рон тре­уголь­ни­ка BHO, чтобы по­ка­зать, что он пря­мо­уголь­ный.

Ответ: 2

Ре­ше­ние. Най­дем каж­дую из сто­рон тре­уголь­ни­ка BHO, чтобы по­ка­зать, что он пря­мо­уголь­ный.

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Най­дем каж­дую из сто­рон тре­уголь­ни­ка OHB, чтобы по­ка­зать, что он пря­мо­уголь­ный.

Ответ: 1

При­ве­дем ре­ше­ние Ар­те­ма Гле­бо­ва.

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с цен­тром в точке О и рас­смот­рим век­то­ра и

Най­дем длины этих век­то­ров:

Най­дем ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние этих век­то­ров:

Пусть угол между век­то­ра­ми равен α, тогда

Сле­до­ва­тель­но, угол между век­то­ра­ми равен 45°, и его тан­генс равен 1.

Ре­ше­ние. Най­дем каж­дую из сто­рон тре­уголь­ни­ка AOB, чтобы по­ка­зать, что он пря­мо­уголь­ный.

Ответ: 0,5

Ре­ше­ние. Най­дем каж­дую из сто­рон тре­уголь­ни­ка OBH, чтобы по­ка­зать, что он пря­мо­уголь­ный.

Ответ: 1

Ре­ше­ние. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 1,2.

Ре­ше­ние. Со­еди­ним точки A и B и рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB.

Вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AOB пря­мо­уголь­ный.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Най­дем каж­дую из сто­рон тре­уголь­ни­ка AOB, чтобы по­ка­зать, что он пря­мо­уголь­ный.

Ответ: 0,5

Ре­ше­ние. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние (см. рис.). Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, по­это­му он равен 4 : 2  =  2.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки B на пря­мую AO для по­лу­че­ния пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 1,25.