Тип 16 № 356488 

Источник: Банк заданий ФИПИ
Раздел кодификатора ФИПИ: Окружность, круг и их элементы. Касательная, хорда, секущая, радиус
i
Сторона равностороннего треугольника равна
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:

Ответ: 1.
Приведем другое решение.
Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. В равностороннем треугольнике биссектрисы являются также медианами и высотами. Пусть биссектриса (она же медиана и высота), проведенная из вершины C, пересекает сторону AB в точке H. Найдем CH из прямоугольного треугольника ACH:



Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, следовательно, 
Приведем еще одно решение.
Воспользуемся приведенной в справочных материалах формулой, связывающий сторону правильного треугольника и радиус окружности, вписанной в этот треугольник:
тогда

Ответ: 1
Источник: Банк заданий ФИПИ