Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му урав­не­ний:

от­ку­да по­лу­ча­ем ре­ше­ния си­сте­мы урав­не­ний : (2; −1) и (2; 1).

Ответ: (2; −1); (2; 1).

Ре­ше­ние. Пусть кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра  — х, кон­цен­тра­ция вто­ро­го рас­тво­ра  — y. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний со­глас­но усло­вию за­да­чи:

Таким об­ра­зом, в пер­вом рас­тво­ре со­дер­жит­ся ки­ло­грам­ма кис­ло­ты.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние для функ­ции:

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции с вы­ко­ло­той точ­кой

По­стро­им гра­фик функ­ции (см. рис.).

За­ме­тим, что пря­мая про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку толь­ко тогда, когда будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тую точку Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты этой точки в урав­не­ние пря­мой и най­дем ко­эф­фи­ци­ент

Ответ: 81.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окруж­но­сти. Най­ди­те длину хорды CD, если AB  =  20, а рас­сто­я­ния от цен­тра окруж­но­сти до хорд AB и CD равны со­от­вет­ствен­но 24 и 10.

Про­ве­дем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и BOH, они пря­мо­уголь­ные, сто­ро­ны AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, OH  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOH и HOB равны. От­ку­да Ана­ло­гич­но, равны тре­уголь­ни­ки COK и KOD, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOH, най­дем OB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник OKD, он пря­мо­уголь­ный, из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем

Таким об­ра­зом,

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку ABCD вы­пук­лый и ∠ABD = ∠ACD, по­лу­ча­ем, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу CD.

Ре­ше­ние. Пусть T  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AB и CD, P  — про­ек­ция точки E на пря­мую CD, Q  — про­ек­ция точки C на пря­мую AD (см. рис.). Обо­зна­чим CD = x.

По­сколь­ку QD = AD − AQ = AD − BC = 7, из ра­вен­ства пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков TBC и CQD на­хо­дим, что TC = x. По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей

Из по­до­бия пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков TPE и TBC имеем:

Ответ: