Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 № 394402
i

В со­су­де име­ет­ся не­сколь­ко оди­на­ко­вых кра­нов, ко­то­рые от­кры­ва­ют один за дру­гим через рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни. Через 8 часов после того, как был вклю­чен по­след­ний кран, сосуд был за­пол­нен. Время, в те­че­ние ко­то­ро­го были от­кры­ты пер­вый и по­след­ний краны от­но­сят­ся как 5 : 1. Через сколь­ко вре­ме­ни за­пол­нит­ся сосуд, если от­крыть все краны од­но­вре­мен­но? Ответ дайте в часах.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый кран ра­бо­тал (n − 1)d + 8 часов, тогда вто­рой кран ра­бо­тал (n − 2)d + 8 часов, ..., n-й кран  — 8 часов. Тогда

 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d плюс 8, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d=32,

 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d плюс 8 плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка d плюс 8 плюс ... плюс 8=d умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 8n=16n плюс 8n=24n.

По­лу­ча­ем, что для за­пол­не­ния со­су­да тре­бу­ет­ся 24n часов ра­бо­ты. Если все краны от­кры­ва­ют­ся од­но­вре­мен­но, то для за­пол­не­ния всего со­су­да по­тре­бу­ет­ся  дробь: чис­ли­тель: 24n, зна­ме­на­тель: n конец дроби =24 часа.

 

Ответ: 24.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По усло­вию по­след­ний кран был от­крыт 8 часов. Тогда пер­вый кран был от­крыт 8 · 5  =  40 часов. Краны от­кры­ва­ют через рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни, сле­до­ва­тель­но, время их ра­бо­ты со­став­ля­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, и сум­мар­ное время ра­бо­ты кра­нов со­ста­вит

S_n= дробь: чис­ли­тель: 40 плюс 8, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на n=24n.

По­лу­ча­ем, что для за­пол­не­ния со­су­да тре­бу­ет­ся 24n часов ра­бо­ты. Если все краны от­кры­ва­ют­ся од­но­вре­мен­но, то для за­пол­не­ния всего со­су­да по­тре­бу­ет­ся  дробь: чис­ли­тель: 24n, зна­ме­на­тель: n конец дроби =24 часа.

Раздел кодификатора ФИПИ: 4.2 Ариф­ме­ти­че­ская и гео­мет­ри­че­ская про­грес­сии. Фор­му­ла слож­ных про­цен­тов