Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, при­чем от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если

По усло­вию то есть тре­уголь­ник KAC  — ту­по­уголь­ный. Тогда по­доб­ный ему ABC также ту­по­уголь­ный. Опре­де­лим со­от­вет­ствен­ные углы. Так как на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на, то тогда Так как то и Сле­до­ва­тель­но,

а по­то­му По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AKC имеем:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем, что

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Можно не вы­чис­лять длины сто­рон: углы по­доб­ных тре­уголь­ни­ков равны, сле­до­ва­тель­но, равны и их ко­си­ну­сы. Тогда:

При­мер 1.

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са угла A делит вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны B, в от­но­ше­нии 25 : 24, счи­тая от точки B. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если

Обо­зна­чим BH вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны B. Бис­сек­три­са, про­ве­ден­ная из угла A, делит вы­со­ту в от­но­ше­нии, рав­но­му от­но­ше­нию AB и AH. Зна­чит, по­это­му

По тео­ре­ме си­ну­сов, ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти равен от­но­ше­нию сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка к удво­ен­но­му си­ну­су про­ти­во­ле­жа­ще­го угла:

Ответ: 25.

При­мер 1.

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са угла A делит вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны B, в от­но­ше­нии 5 : 4, счи­тая от точки B. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если

Обо­зна­чим BH вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны B. Бис­сек­три­са, про­ве­ден­ная из угла A, делит вы­со­ту в от­но­ше­нии, рав­но­му от­но­ше­нию AB и AH. Зна­чит, по­это­му

По тео­ре­ме си­ну­сов ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти

Ответ: 5.

При­мер 1.

При­мер 2.

При­мер 3.