Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны А и С тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны АВ и ВС в точ­ках К и Е со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки АЕ и СК пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.

Углы АКС и АЕС равны, т. к. опи­ра­ют­ся на одну дугу окруж­но­сти; сле­до­ва­тель­но, ∠ВКС = ∠ВЕА, как смеж­ные с ними. Из че­ты­рех­уголь­ни­ка ВКDЕ: Из ВКС: ∠КСВ = 180° − 125° − 20°  =  35°.

Ответ: 35°.

При­мер 1.

При­мер 2.

На сто­ро­нах угла BAC, рав­но­го 20°, и на его бис­сек­три­се от­ло­же­ны рав­ные от­рез­ки AB, AC и AD. Опре­де­ли­те ве­ли­чи­ну угла BDC.

Так как от­рез­ки равны, то тре­уголь­ни­ки ACD и ABD  — рав­но­бед­рен­ные. Углы при ос­но­ва­нии этих тре­уголь­ни­ков равны:

Най­дем ис­ко­мый угол:

Ответ: 170°.

При­ве­дем ре­ше­ние Га­ли­ны Ро­га­че­вой (Че­ля­бинск).

По­стро­им окруж­ность с цен­тром в точке A и ра­ди­у­сом

Угол BAC  —  цен­траль­ный, сле­до­ва­тель­но, дуга BDC равна 20°, тогда боль­шая (не со­дер­жа­щая точку D) дуга BC равна Угол BDC  — впи­сан­ный, опи­ра­ет­ся на дугу 340°, тогда

При­мер 1.

При­мер 2.

При­мер 3.

Вы­со­та AH ромба ABCD делит его сто­ро­ну CD на от­рез­ки и Най­ди­те вы­со­ту ромба.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH най­дем

Ответ: 10

При­мер 1.

При­мер 2.

При­мер 3.

При­мер 4.