Угол треугольника равен  = 180° − −  = 45°.

Радиус описанной окружности равен .

Ответ: 2.

Пусть DC = x. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

Ответ: 16.

Пусть

По свойству касательных AM = AP, BM = BK , CP = CK . Значит, треугольники AMP, BMK и CPK равнобедренные, откуда получаем:

Значит, Аналогично получаем, что и

Решая систему относительно α , β и γ , получаем, что углы треугольника ABC равны 82°, 42°, 56°.

Приведем решение Марии Васильевны.

Угол AMP — угол между касательной и хордой, следовательно, его величина равна половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой, то есть дуги MP.

Угол MKP — вписанный, следовательно, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то есть дуги MP.

Тогда

По свойству касательных AM = AP, тогда в равнобедренном треугольнике MAP

Аналогично найдем

Приведем другое решение.

Пусть O — центр окружности.

Угол MKP — вписанный, угол MOP — центральный, тогда

В четырехугольнике AMOP как углы между касательной и радиусом, проведенным в точку касания. Тогда

Аналогично

Ответ: 82°, 42°, 56°.

Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, Углы и — смежные, следовательно, Из приведённых равенств, получаем, что Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда Используя равенство найдём

Ответ: 15.

Пусть O — центр окружности, OM = 16 и ON = 12 — перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OMB имеем: откуда ОВ = 20.

Поскольку OB = OD как радиусы окружности и MB = ON по условию, прямоугольные треугольники ОMB и OND равны по гипотенузе и катету. Следовательно, их катеты также равны: ND и OM также равны, откуда ND = 16.

Отрезок ON лежит на радиусе окружности. Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому CD = 2ND = 32.

Ответ: 32.