Ре­ше­ние. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC все углы равны 60°. Бис­сек­три­сы CN и AM делят углы по­по­лам, по­это­му = = Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му Вер­ти­каль­ные углы равны, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­та, опу­щен­ная на ос­но­ва­ние делит ос­но­ва­ние по­по­лам, то есть CH делит AB по­по­лам. Тогда по­лу­ча­ем пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ACH с двумя из­вест­ны­ми ка­те­та­ми и ги­по­те­ну­зой ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся ис­ко­мая По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Ме­ди­а­ны в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми и вы­со­та­ми, по­это­му Тре­уголь­ник AOK  — пря­мо­уголь­ный, по­это­му

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Углы ACB и BAC равны, т. к. на­хо­дят­ся при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка; пусть один из них равен x. По­сколь­ку сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, имеем: ∠ABC = 180° − x − x. Угол ACB сме­жен с углом 123°, зна­чит, равен 180° − 123° = 57°. Сле­до­ва­тель­но, x = 57°, от­ку­да ∠ABC = 180° − 2·57° = 66°.

Ответ: 66.

Ре­ше­ние. Пусть длина бо­ко­вой сто­ро­ны равна a. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними: Тогда:

Ответ: 28.

Ре­ше­ние. Сумма смеж­ных углов равна 180°, от­ку­да Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 112.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ACD  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му Най­дем угол

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на тре­уголь­ни­ка Таким об­ра­зом, пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BM:

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Так как тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, то его ме­ди­а­на BH яв­ля­ет­ся и бис­сек­три­сой, и вы­со­той. Тогда тре­уголь­ник ABH  — пря­мо­уголь­ный. Тогда:

Ответ: 24

Ре­ше­ние. Так как тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, то его бис­сек­три­са BH яв­ля­ет­ся и ме­ди­а­ной, и вы­со­той. Тогда тре­уголь­ник ABH - пря­мо­уголь­ный. Тогда:

Ответ: 24