Ре­ше­ние. Гра­фик функ­ции со­сто­ит из двух лучей и от­рез­ка.

На ри­сун­ке видно, что гра­фик имеет ровно две общих точки с го­ри­зон­таль­ны­ми пря­мы­ми и

Ответ: 1; −2.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние: при

Зна­чит,

По­стро­им ветвь ги­пер­бо­лы при и уда­лим точку Затем по­стро­им вто­рую часть гра­фи­ка сим­мет­рич­но пер­вой от­но­си­тель­но оси ор­ди­нат.

На ри­сун­ке видно, что пря­мая не имеет с по­стро­ен­ным гра­фи­ком общих точек, если она го­ри­зон­таль­на, либо про­хо­дит через одну из уда­лен­ных точек или Этим слу­ча­ям со­от­вет­ству­ют зна­че­ния и

Ответ:

Ре­ше­ние. По­стро­им гра­фик функ­ции при и гра­фик функ­ции при

Пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки при и

Ответ: 2 ; 6.

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем мо­дуль:

Вы­де­лим пол­ные квад­ра­ты:

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­ча­ет­ся из гра­фи­ка функ­ции от­ра­же­ни­ем от­но­си­тель­но оси Ox и по­сле­ду­ю­щим сдви­гом на век­тор а гра­фик функ­ции   — сдви­гом на век­тор

Этот гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно две общие точки при и

Ответ: −6,25; 12,25.

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем мо­дуль:

Вы­де­лим пол­ные квад­ра­ты:

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­ча­ет­ся сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на 2 еди­ни­цы мас­шта­ба влево вдоль оси Ox и на 1 еди­ни­цу мас­шта­ба вниз вдоль оси Oy, а гра­фик функ­ции   — сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на 2 еди­ни­цы мас­шта­ба впра­во вдоль оси Ox и на 7 еди­ниц мас­шта­ба вниз вдоль оси Oy. Этот гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке.

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно три общие точки при и

Ответ: − 1;

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем мо­дуль:

Этот гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку при и

Ответ: −1; 1.

Ре­ше­ние. Имеем:

По­стро­им гра­фик.

Пря­мая, па­рал­лель­ная оси абс­цисс за­да­ет­ся фор­му­лой где c  — по­сто­ян­ная. Из гра­фи­ка видно, что пря­мая может иметь с гра­фи­ком функ­ции не более че­ты­рех общих точек.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние, за­да­ю­щее функ­цию:

Возь­мем со­от­вет­ству­ю­щие части от па­ра­бол и от­ме­тим вы­ко­ло­тую точку Ис­ко­мый гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке.

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая не имеет с гра­фи­ком функ­ции ни одной общей точки при

Ответ: −9.

Ре­ше­ние. Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­ча­ет­ся из гра­фи­ка функ­ции сдви­гом на век­тор (−2; 0). Гра­фик функ­ции по­лу­ча­ет­ся из гра­фи­ка функ­ции рас­тя­же­ни­ем в 16 раз вдоль оси ор­ди­нат и от­ра­же­ни­ем от­но­си­тель­но оси Ox.

Изоб­ра­зим гра­фик на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции одну или две общие точки при любом m при­над­ле­жа­щем мно­же­ству

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем мо­дуль:

Чтобы по­стро­ить ис­ко­мый гра­фик, по­стро­им гра­фик функ­ции   на про­ме­жут­ке   и гра­фик функ­ции   на про­ме­жут­ке 

Гра­фи­ком функ­ции   яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты Гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс в точ­ках (−6; 0) и (−1; 0), пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат в точке (0; 6).

Гра­фи­ком функ­ции   яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты  Гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс в точ­ках (−9; 0) и (−6; 0).

Гра­фик дан­ной функ­ции изоб­ра­жен на ри­сун­ке. Пря­мая y  =  m имеет с по­стро­ен­ным гра­фи­ком ровно три общие точки при m  =  0 и при m  =  −2,25.

Ответ: −2,25; 0.

Ре­ше­ние. По­стро­им гра­фик функ­ции Вы­де­ляя пол­ный квад­рат, по­лу­ча­ем:

Гра­фик этой функ­ции по­лу­ча­ет­ся сдви­гом па­ра­бо­лы, за­да­ва­е­мой фор­му­лой на 2 еди­ни­цы влево и на 9 еди­ниц вниз.

Чтобы по­лу­чить гра­фик функ­ции из гра­фи­ка функ­ции оста­вим без из­ме­не­ния его части, ле­жа­щие на оси абс­цисс или выше, а части гра­фи­ка, ле­жа­щие ниже оси абс­цисс, от­ра­зим от­но­си­тель­но нее. Ис­ко­мый гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке.

Из по­стро­ен­но­го гра­фи­ка на­хо­дим, что па­рал­лель­ная оси абс­цисс пря­мая, может иметь с ним не более че­ты­рех общих точек.

Ответ: 4.