PDF-версии: Тип 25 № 340237 
Раздел кодификатора ФИПИ: Подобие
Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей
i
На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.
Решение. Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. Угол, образованный касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, поэтому угол BCD равен половине дуги CD. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол CAD равен половине дуги CD. Следовательно, углы BCD и CAD равны. Рассмотрим треугольники ABC и CDB, углы BCD и CAD равны, угол B — общий, значит, треугольники подобны. Откуда
Значит, 
и 
Таким образом, 
Ответ: 15.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 15.
340237
15.
Раздел кодификатора ФИПИ: Подобие