1.
В прямоугольном треугольнике 
с прямым углом 
известны катеты: 
, 
. Найдите медиану 
этого треугольника.
Треугольники
2.
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 5, AC = 20.
, откуда 
3.
Медианы треугольника пересекаются в точке 
. Найдите длину медианы, проведённой к стороне 
, если угол 
равен 47°, угол 
равен 133°, 
.
и 
. Значит, 
= 133°, поэтому четырёхугольник ABLC — вписанный. Тогда 
.4.
Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.
Из 
ВКС: ∠КСВ = 180° − 125° − 20° = 35°.5.
В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 3. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 15.
6.
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 10, DC = 25, AC = 56 .
и 
равны как накрест лежащие, углы 
и 
равны как вертикальные, следовательно, треугольники 
Следовательно,
7.
Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.
8.
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
. С одной стороны, площадь треугольника равна половине произведения катетов, а с другой стороны, она равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней. Следовательно, искомая высота равна 
.9.
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 16.
— вписанный, он равен 90° и опирается на дугу 
следовательно, дуга 
равна 180°, значит, хорда 
— диаметр окружности и 
10.
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25 .
Следовательно,
11.
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.
вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, 
Углы 
и 
— смежные, следовательно, 
Из приведённых равенств, получаем, что 
Рассмотрим треугольники 
угол 
— общий, углы 
равны, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Используя равенство 
найдём 
12.
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.
Найдём BN:
13.
Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.
служит медианой, при этом 
= 90°, 
= 30°. Возьмем на продолжении отрезка 
так, что 
. Тогда треугольники 
и 
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, 
= 90°. Поэтому треугольник 
— прямоугольный с углом 
, равным 30°. Следовательно, 
.
.
.
, откуда 
, следовательно, 
.14.
Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.
и 
, высота AK пересекает высоту BH в точке M, причем 
. Треугольники AHM, BKM и BHC подобны, поскольку они прямоугольные и первые два имеют равные углы (углы AMH и BMK равны как вертикальные), а вторые два имеют общий угол. Получаем пропорцию 
, то есть 
, откуда 
и 
15.
В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.
16.
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 13, DC = 65, AC = 42.
а значит, 
17.
Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 7:10. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади треугольника ABC.
. По свойству биссектрисы 
имеем: 
. Из условия задачи известно, что 
, следовательно, 
и 
, имеем:
18.
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 11.
