Ре­ше­ние. Углы А и В  — од­но­сто­рон­ние, по­это­му угол А равен 180° − 50° − 65° = 65°.

Ответ: 65.

Ре­ше­ние. Пусть мень­ший угол равен x, тогда боль­ший угол равен

По­сколь­ку сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°, имеем:

Таким об­ра­зом, наи­мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 70°.

Ответ: 70.

Ре­ше­ние. Пусть x  — мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма, а 2x  — боль­ший угол, x + 2x + x + 2x = 6x  — сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма, от­ку­да x = 60°.

Таким об­ра­зом, мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Угол DAB равен 47° + 11°  =  58°, а сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна 180°. По­это­му угол ADC равен 180° − 58°  =  122°. Он и яв­ля­ет­ся наи­боль­шим.

Ответ: 122.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник CDE  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Тогда угол CDE равен

Угол ADE  — раз­вер­ну­тый, он со­сто­ит из двух углов: ADC и CDE. Зна­чит, боль­ший угол ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD будет равен

Ответ: 106°.

Ре­ше­ние. Пусть длин сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равны a и В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны: Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма

Ответ: 24.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что если в па­рал­ле­ло­грам­ме равны суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон, то все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но, дан­ный па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и По­сколь­ку AE  — бис­сек­три­са угла A, Этот угол яв­ля­ет­ся ост­рым углом па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей  — точка O. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, от­ку­да AO  =  OC  =  AB  =  CD. По­сколь­ку OC  =  CD, тре­уголь­ник COD  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Угол COD яв­ля­ет­ся ис­ко­мым углом между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 5,5.

Ре­ше­ние. Пусть точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей  — точка O. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, от­ку­да AO  =  OC  =  AB  =  CD. По­сколь­ку OC  =  CD, тре­уголь­ник COD  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Угол COD яв­ля­ет­ся ис­ко­мым углом между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 79,5.

Ре­ше­ние. Углы BKA и KAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му углы BAK и BKA также равны. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABK  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да AB  =  BK  =  6. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен сумме длин всех его сто­рон P  =  2(BC + AB)  =  2(6 + 10 + 6)  =  44.

Ответ: 44.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его ос­но­ва­ния на вы­со­ту, опу­щен­ную на это ос­но­ва­ние. Пусть вы­со­ты равны со­от­вет­ствен­но a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. По­это­му a = 8, b = 4. Боль­шая вы­со­та равна 8.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Так как сумма од­но­сто­рон­них углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°, то боль­ший угол равен 180° − 41°=139°.

Ответ: 139.

Ре­ше­ние. В па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, по­это­му DO  =  10.

Ответ: 10.