Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му вто­рой ост­рый угол равен Оба ост­рых угла равны, сле­до­ва­тель­но, дан­ный тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да по­лу­ча­ем, что оба ка­те­та равны. Длина ка­те­та равна

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния ка­те­тов:

Ответ: 1225.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть диа­го­наль BD об­ра­зу­ет со сто­ро­ной AB угол 51°. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, по­это­му тре­уголь­ник ABO  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да по­лу­ча­ем, что ∠ABO = ∠BAO  =  51°. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, от­ку­да ∠ BOA  =  180° − 2 · 51°  =  78°. Этот угол яв­ля­ет­ся ост­рым углом между диа­го­на­ля­ми пря­мо­уголь­ни­ка.

Ответ: 78°.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть диа­го­наль BD об­ра­зу­ет со сто­ро­ной AB угол 74°. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, по­это­му тре­уголь­ник ABO  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да по­лу­ча­ем, что ∠ABO = ∠BAO  =  74°. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, от­ку­да ∠ BOA  =  180° − 2 · 74°  =  32°. Этот угол яв­ля­ет­ся ост­рым углом между диа­го­на­ля­ми пря­мо­уголь­ни­ка.

Ответ: 32°.

Про­ве­дем вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCH И сле­до­ва­тель­но, он па­рал­ле­ло­грамм. Угол зна­чит, ABCH  — квад­рат (так как мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те), от­ку­да и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CHD най­дем

Боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции

Ответ: 117.

Про­ве­дем вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCH И сле­до­ва­тель­но, он па­рал­ле­ло­грамм. Угол зна­чит, ABCH  — пря­мо­уголь­ник, от­ку­да и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CHD най­дем

Боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции

Ответ: 49.

Пусть точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей  — точка O. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, от­ку­да AO  =  OC  =  AB  =  CD. По­сколь­ку OC  =  CD, тре­уголь­ник COD  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, ∠COD = ∠CDO  =  (180° − ∠ACD)/2  =  76°/2  =  38°. Угол COD яв­ля­ет­ся ис­ко­мым углом между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 38.

При­ме­ча­ние.

На­пом­ним, что углом между двумя пря­мы­ми на­зы­ва­ет­ся мень­ший из углов, об­ра­зо­ван­ных при пе­ре­се­че­нии этих пря­мых, сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо найти ост­рый угол, об­ра­зо­вав­ший­ся при пе­ре­се­че­нии диа­го­на­лей.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна a. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 38.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Катет, ле­жа­щий на­про­тив угла 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Пусть а  — длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30°, тогда длина ги­по­те­ну­зы равна 2а. Най­дем вто­рой катет b по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов, тогда

Ответ: 38.

Про­ве­дем ра­ди­ус OB. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB: AO  =  OB, сле­до­ва­тель­но, углы ∠OAB = ∠ABO  =  8°. Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOC: BO  =  OC, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 7.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Угол ABC  — впи­сан­ный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, ве­ли­чи­на дуги ADC равна 30°. Дуги ADC и ABC вме­сте со­став­ля­ют пол­ную окруж­ность, по­это­му дуга ABC равна 360° − 30°  =  330°. Рас­смот­рим угол AOC че­ты­рех­уголь­ни­ка AOCB, он цен­траль­ный, опи­ра­ет­ся на дугу ABC, по­это­му он равен 330°. Сумма углов че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 360°, от­ку­да

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что угол AOC по дан­ным за­да­чи яв­ля­ет­ся ост­рым, в то время как на ри­сун­ке он тупой. Оче­вид­но, что это не вли­я­ет на спра­вед­ли­вость ре­ше­ния  — за­да­чу можно ре­шить и вовсе без ри­сун­ка. По­это­му мы не стали ме­нять тот ри­су­нок, ко­то­рый был дан ав­то­ра­ми за­да­ния.

Угол BOC  — цен­траль­ный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Угол BAC впи­сан­ный, он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. По­сколь­ку эти углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, ∠BOC  =  2∠BAC. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны, по­это­му

Сле­до­ва­тель­но, угол BОC  =  3°.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние.

Одно время это за­да­ние было снаб­же­но ав­тор­ским ри­сун­ком с ост­рым углом В. За­ме­тим, что ри­су­нок не вли­я­ет на спра­вед­ли­вость ре­ше­ния  — за­да­чу можно ре­шить и вовсе без ри­сун­ка.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и По­сколь­ку AE  — бис­сек­три­са угла A, Этот угол яв­ля­ет­ся ост­рым углом па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 30.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­ни­ях равны. Угол ABC  — тупой, а угол BAD  — ост­рый, зна­чит, ∠ABC  — боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Углы CAD и BCA равны как на­крест ле­жа­щие. Тогда:

Ответ: 99

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и По­сколь­ку AE  — бис­сек­три­са угла A, Сумма смеж­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­это­му угол ABC равен Таким об­ра­зом, ост­рый угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен

Ответ: 66.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и По­сколь­ку AE  — бис­сек­три­са угла A, Сумма смеж­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­это­му угол ABC равен Таким об­ра­зом, ост­рый угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен

Ответ: 62.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и По­сколь­ку AE  — бис­сек­три­са угла A, Сумма смеж­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­это­му угол ABC равен Таким об­ра­зом, ост­рый угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен

Ответ: 28.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и По­сколь­ку AE  — бис­сек­три­са угла A, Сумма смеж­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­это­му угол ABC равен Таким об­ра­зом, ост­рый угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен

Ответ: 82.

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°. Таким об­ра­зом, ис­ко­мый угол равен

Ответ: 67.

Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам - верно, так как сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сов, пря­мой угол равен 90 гра­ду­сам, сле­до­ва­тель­но, сумма остав­ших­ся остры углов тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сов.

2.  Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме ее ос­но­ва­ний - не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний.

3.  В любой че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность - не­вер­но, это, как ми­ни­мум, дол­жен быть вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник.

Ответ: 1

Про­ве­дем вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCH И сле­до­ва­тель­но, он па­рал­ле­ло­грамм. Угол зна­чит, ABCH  — квад­рат (так как мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те), от­ку­да и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CHD най­дем

Боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции

Ответ: 170.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и По­сколь­ку AE  — бис­сек­три­са угла A, Сумма смеж­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­это­му угол ABC равен Таким об­ра­зом, ост­рый угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен

Ответ: 26.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­ни­ях равны. Угол ABC  — тупой, а угол BAD  — ост­рый, зна­чит, ∠ABC  — боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Углы CAD и BCA равны как на­крест ле­жа­щие. Тогда:

Ответ: 134