Угол BAC равен углу BCP так как и . Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: Тогда а гипотенуза по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Таким образом, а Так как то а по теореме Пифагора.

В треугольнике площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Ответ:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Отрезок проходит через центр описанной окружности, следовательно, — диаметр. Углы и — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Из прямоугольного треугольника Из прямоугольного треугольника Рассмотрим прямоугольный треугольник углы и равны, значит,

Ответ: 45°.

Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а центр вписанной окружности через I.

Тогда

Таким образом, точки A, C, O и I лежат на одной окружности.

Поскольку угол ABC тупой, основания высот будут лежать на продолжениях сторон. Так как диагонали четырёхугольника AA₁C₁C пересекаются, он выпуклый, а поскольку около него можно описать окружность. Тогда как вписанные углы, опирающиеся на дугу AA₁, а как вписанные углы, опирающиеся на дугу CC₁. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.

Углы АКС и АЕС равны, т. к. опираются на одну дугу окружности; следовательно, ∠ВКС = ∠ВЕА, как смежные с ними. Из четырёхугольника ВКDЕ: Из ВКС: ∠КСВ = 180° − 125° − 20° = 35°.

Ответ: 35°.

Так как биссектриса острого угла A прямоугольного треугольника ABC не может быть перпендикулярна BC, то биссектриса угла A и серединный перпендикуляр к BC имеют ровно одну общую точку.

Пусть N — середина BC. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть серединный перпендикуляр к BC пересекает меньшую дугу BC в точке L (см. рисунок), тогда точка L является серединой этой дуги, ⌣BL = ⌣LC. Но тогда как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда AL — биссектриса . Но это означает, что точка L совпадает с точкой K, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к BC и биссектрисой . Заметим, что как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.

Пусть . Четырехугольник ACLB — вписанный, поэтому , то есть , откуда Так как точки K и L совпадают,

Ответ: 25°.

Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а точку пересечения высот через H. Тогда и Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.

Угол — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу следовательно, дуга равна 180°, значит, хорда — диаметр окружности и

Ответ: 16.

Поскольку ABCD выпуклый и ∠ABD = ∠ACD, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу CD.

Угол — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу следовательно, дуга равна 180°, значит, хорда — диаметр окружности и

Ответ: 11.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Отрезки касательных, проведённые из одной точки равны, поэтому Следовательно, треугольники — равнобедренные, поэтому в каждом треугольнике углы при основании равны. Угол — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол образован хордой и касательной, следовательно, он равен половине величины дуги, которую заключает. Значит, Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём угол

Аналогично, из треугольников и получаем,

Ответ: 24°; 104°; 52°.

Поскольку диагонали четырехугольника AB₁A₁B пересекаются, он является выпуклым, а так как , около него можно описать окружность. Тогда углы AA₁B₁ и ABB₁ равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу AB₁.

Треугольники и имеют общую гипотенузу . Поэтому точки лежат на одной окружности. Углы и опираются на одну дугу, и поэтому равны.

Треугольники и имеют общую гипотенузу . Поэтому точки лежат на одной окружности. Углы и опираются на одну дугу, и поэтому равны.

В треугольнике ABC имеем , а

Таким образом, значит,

Из    имеет   = 90° − 20° = 70°, тогда   = 180° − 70° = 110°. Далее  , так как они опираются на одну дугу окружности: следовательно,  . В четырёхугольнике    имеем   = 360° − 90° − 2 · 110° = 50°.

Ответ: 50°.

Пусть  .

= 102° − x;        x = + 32°.

= 72°;   ;    = 72° − x;   2x = 104°, x = 52°.

Ответ: 52°.

Обозначим середину стороны BC за K. Продлим MK на свою длину за точку K до точки L. Четырёхугольник BLCM — параллелограмм, потому что и . Значит, = 133°, поэтому четырёхугольник ABLC — вписанный. Тогда .

Ответ: 6.