Ре­ше­ние. Ис­ход­но был один боль­ной. В пер­вый день он за­ра­зил че­ты­рех че­ло­век, зна­чит, за­бо­лев­ших стало 1 + 4  =  5, из них 4 че­ло­ве­ка вновь за­ра­зив­ших­ся. Во вто­рой день каж­дый из вновь за­ра­зив­ших­ся за­ра­зит еще че­ты­рех че­ло­век, зна­чит, за­бо­лев­ших ста­нет 5 + 4 · 4  =  21, из них 16 че­ло­век вновь за­ра­зив­ших­ся, в тре­тий  — 21 + 16 · 4  =  85 и так далее. Общее ко­ли­че­ство за­бо­лев­ших яв­ля­ет­ся сум­мой n пер­вых чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с пер­вым чле­ном b₁  =  1 и зна­ме­на­те­лем q  =  4. Из фор­му­лы суммы по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку за это время еще никто из за­бо­лев­ших не успе­ет вы­здо­ро­веть, ко­ли­че­ство за­бо­лев­ших не умень­шит­ся.

При этом ко­ли­че­ство за­бо­лев­ших, рав­ное 1, со­от­вет­ству­ет «ну­ле­во­му» дню (в пер­вый день за­бо­лев­ших будет уже 5), сле­до­ва­тель­но, из по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та надо вы­честь еди­ни­цу.

Ответ: 5.