РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 339740 Добавить в вариант

Источник: ОГЭ по математике 2022. Основная волна. Вариант 3

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.4 Окружность и круг;

Свойства касательных, секущих;

Теорема косинусов;

Теорема синусов.

Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15, знаменатель: конец аргумента конец дроби 4.$

Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. По теореме о касательной и секущей:

$AM умножить на AN=AE в квадрате равносильно AE= корень из: начало аргумента: AM умножить на AN конец аргумента равносильно AE= корень из: начало аргумента: 4 умножить на 15 конец аргумента равносильно AE=2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$

Рассмотрим треугольник AEM, по теореме косинусов найдем сторону $EM:$

$EM= корень из: начало аргумента: AE в квадрате плюс AM в квадрате минус 2AE умножить на AM косинус \angle BAC конец аргумента =$

$= корень из: начало аргумента: 60 плюс 16 минус 2 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента умножить на 4 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента =4.$

Аналогично из треугольника AEN найдем сторону $EN:$

$EN= корень из: начало аргумента: AE в квадрате плюс AN в квадрате минус 2AE умножить на AN косинус \angle BAC конец аргумента = корень из: начало аргумента: 60 плюс 225 минус 2 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента умножить на 15 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$ $EN= корень из: начало аргумента: AE в квадрате плюс AN в квадрате минус 2AE умножить на AN косинус \angle BAC конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 60 плюс 225 минус 2 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента умножить на 15 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$

В треугольнике AEN стороны AE и EN равны, следовательно, треугольник AEN  — равнобедренный, откуда $\angle EAN =\angle ENA.$ Из основного тригонометрического тождества найдем $синус \angle ENA:$

$синус \angle ENA= корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 16 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Найдем искомый радиус окружности по теореме синусов:

$R= дробь: числитель: EM, знаменатель: 2 синус \angle ENA конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби =8.$

Ответ: 8.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.	2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.	0
Максимальный балл	2